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【探索】单孔销浮动(三)：DTAS在圆内均匀分布的实现与验证！

概要：上几期文章中为实现均匀分布我们通常对半径r在区间[0,R]内按均匀分布采样，对角度θ在区间[0,2π）内按均匀分布采样,实际这种方法并不是真正的均匀分布。本文将继续探讨如何真正实现销在孔内的均匀分布。我们不仅关注公差仿真建模，并且还探讨深挖其背后的理论知识。

一. 现场工况与分析价值

众所周知，孔销配合一般用于对手件之间的相对定位。为保证孔销的顺利装配，一般两者的名义尺寸不同，且孔的下限尺寸比销的上限尺寸稍大，因此销在孔中存在相对位置浮动。

仍考虑单孔销配合，上一期我们探讨了孔销相切的最大浮动工况，但现实中还存在其它的工况。例如：自动化生产线装配中，当机器人的定位精度足够高时，零件的配合到位不需要销头部圆弧的导向，装配后孔销也未必相切接触。弱化导向作用后，孔销中心的相对位置可按正态分布仿真建模。当然现实生产中，由于后续夹具定位，连接紧固的存在，孔销浮动一般不会按上述理想的正态分布处理，而会在正态分布与相切浮动这两个极端中寻找一种中间状态，如按圆内均匀分布进行假设，如下图1所示。

图1 单销孔配合符合圆内均匀分布

二、 模拟方法一

销在图1的圆形公差带内均匀分布，我们首先想到的是可以利用极坐标系分别定义半径变量为r，角度变量为θ。对半径r在区间[0,R]内按均匀分布采样，对角度θ在区间[0,2π）内按均匀分布采样。

2.1 仿真动画验证

我们按图1的单孔销尺寸建立DTAS仿真模型，并令销在孔内按照方法定义的分布形式进行装配，仿真结果如下。

图2 半径和角度按均匀分布采样

仔细观察图2点分布的最终位置，中心密度更高，显然不满足圆内均匀分布的目标要求。

2.2 仿真结果的概率分布

我们进一步为销中心建立垂直方向的虚拟测量，进行5000次虚拟装配后得到图3仿真测量结果，标准差为0.205分布。

图3 销中心垂直方向波动量仿真结果

三、模拟方法二

因为在半径R的圆内均匀分布，r和θ的联合概率密度f(r，θ)=1/πR²要求角度也按均匀分布，所以θ的概率密度：

f(θ)=1/2π

因为变量r和θ独立，因此二维随机变量(r，θ)的分布函数F(r，θ)和边缘分布函数FR(r),Fθ (θ)满足：

 F(r，θ)=FR (r) Fθ(θ)

上式也可用概率密度表示，即等价于联合概率密度：

f(r,θ )=f(r)*f(θ)=1/πR²

仔细观察上式可以得知r² 为0到R²均匀分布。有兴趣的朋友可以理论推导上面的结论或联系我们一起探讨。 

3.1  仿真模型的实现与验证

若需按上文所述对销半径位置r平方在区间[0,R² ]内按均匀分布采样，需按图4所示设置孔销浮动类型。

从波动轨迹可以看出，销在孔内波动体现了很好的均匀性。

图5 半径平方按均匀分布采样

3.2 仿真结果的概率分布

同样为销中心建立垂直方向的虚拟测量，进行5000次虚拟装配后得到图6仿真测量结果。其中标准差为0.252。

我们与方法1的标准差对比，明显比方法1的大。由于方法1产生的随机点在圆心处比较多，因此波动比较小，因此方差比较大。有兴趣的朋友可以尝试推导标准差的模拟结果与理论值的差异有多大。经过理论推导可知理论的标准差0.25，其概率密度如图7所示。对比图6方仿真结果，标准差仿真结果与理论吻合。

图7 销中心垂直方向波动量理论分布

四、 结论

1. 采用极坐标法实现圆内均匀分布，必须在角度方向满足均匀分布，并且半径的平方满足均匀分布，而不是半径满足均匀分布，即半径的采样密度随着远离中心而升高。我们可以用概率论和微积分的相关数学知识进行严格的理论推导来验证其正确性。

2. 圆中均匀采样是一些装配功能的基础，例如两/多孔销装配中销中心位置的随机均匀生成，此功能的正确实现保障了各类孔销装配中随机采样的准确性，保证软件仿真结果的正确性。

3. 在DTAS3D中用户可以根据实际工况选择上述两种方法。